关礼杰有两兄一姊,从小成长于基督教家庭[4][5][6],父亲和舅父皆是牧师[6](父亲曾是消防员[注 3])。他早年就读至少两所中学,其中一所入读的是太古城圣约翰男女英文书院,与艺人尹天照为高中同学[注 2]。1981年中学毕业后于中环工作[注 3],再被星探发掘透过拍摄广告入行[注 3][6],出身于1981年无线电视第11期艺员训练班[7],毕业后随即被安排于同年底播出的电视剧《万水千山总是情》里担演重要角色,饰演“阮文瀚”一角,惟不久后被投闲置散,1983年拍摄剧集《豹子胆》后曾被电视台调为舞蹈艺员;翌年才再次被公司安排出演《新扎师兄》[8],于此剧里他饰演性格柔弱的“乔志豪(好姐)”,使他声名大噪。其后也有戏份较重角色如《大香港》“康钧”、《黄金十年》“梅志培”、重头钜制《怒剑啸狂沙》“洪逸飞”、《天伦》“林家伟”、《黑夜彩虹》“康正”、《怒火街头》“毕直”及《僵》“庞应天”等。 1995年,当时已是当家小生的关礼杰因私自接拍新加坡国语电视剧而遭无线终止合约[6][9],而接拍原因出于想扩阔发展空间[注 3]。其后他到新加坡完成片约[注 3],又游走两岸三地拍剧,直到2002年才获邀重回无线[6]。2014年,他在剧集《叛逃》内饰演的“沈志敖”,向反恐特勤队成员示范跨台跳跃一幕(被网民戏称“飞檐走壁关礼杰”),由于剧情过于夸张而引起不少观众关注,并成为一时热话[10][11][12][13]。同年,他在《爱我请留言》中所饰演的“黄金贵”,逗笑演技获得不少网民称赞,更获支持夺取《万千星辉颁奖典礼2014》“最佳男配角”奖,但最终败给蒋志光;而近年也成为无线电视监制陈维冠及陈耀全的常用演员,至2021年1月完成《我家无难事》拍摄工作后再次离开无线。